复杂度分析的套路及常见的复杂度

前言

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在正式讲解套路之前，我们先回忆一下前面几节讲到的内容。

在第2节，我们学习了渐近分析法，将算法的复杂度与输入规模挂钩，随着输入规模的增大，算法执行的时间将呈现一种什么样的趋势，将这个趋势用函数表示，再去除低阶项和常数项，就得到了算法的时间复杂度。

在第3节，我们分别从最坏、平均、最好三种情况来分析了算法的复杂度，得出结论，一般使用最坏情况来评估算法的复杂度。

在第4节，我们通过动态数组的插入元素及经典快速排序的时间复杂度，解释了有的时候不能使用最坏情况来评估算法的复杂度。

在第5节，我们从读音、数学、通俗理解三个方面分析了各种表示算法复杂度的符号，得出结论还是使用大O比较香，大O代表了算法的上界，它与前面讲到的最坏情况往往是对应的。

所以，这里所说的套路也是针对大部分情况，也就是最坏情况，对于一些个例，比如经典快排，我们虽然也是使用大O表示他们的复杂度，但是，其实是一种均摊的复杂度。

好了，让我们看看计算算法复杂度的套路到底是什么吧。

套路

我将计算算法复杂度的套路归纳为以下五步：

1. 明确输入规模n；
2. 考虑最坏情况或均摊情况，如果最坏情况为个例，那就是均摊；
3. 计算算法执行的次数与n的关系，并用函数表示出来；
4. 去除低阶项；
5. 去除常数项；

比如，对于在数组中查找指定元素的操作：

1. 输入规模为数组的长度n；
2. 考虑最坏情况为目标元素不在数组中；
3. 算法的执行次数为遍历所有数组元素，也就是n次，用函数表示f(n) = n；
4. 去除低阶项，没有低阶项，还是n；
5. 去除常数项，没有常数项，还是n；

所以，在数组中查找指定元素的时间复杂度为O(n)。

OK，使用这种方式可以很快的计算出算法的复杂度，也不需要进行额外的计算，非常快捷高效。

常见的复杂度

上面我们说了，复杂度的计算就是计算与输入规模n的关系，所以，我们想想数学中关于n的函数就能得出常见的复杂度了，我绘制了一张表格：

与n的关系	英文释义	复杂度	示例
常数（不相关）	Constant	O(1)	数组按索引查找元素
对数相关	Logarithmic	O(logn)	二分查找
线性相关	Linear	O(n)	遍历数组的元素
超线性相关	Superlinear	O(nlogn)	归并排序、堆排序
多项式相关	Polynomial	O(n^c)	冒泡排序、插入排序、选择排序
指数相关	Exponential	O(c^n)	汉诺塔
阶乘相关	Factorial	O(n!)	行列式展开
n的n次方	无	O(n^n)	不知道有没有这种算法

在这张表中，复杂度是依次增加的，可以看到常数复杂度O(1)无疑是最好的，让我们用一张图来直观感受下：

后记

本节，我们一起学习了复杂度分析的套路以及常见的复杂度，到目前为止，我们不管是举例还是讲解基本上都在说时间复杂度。

那么，空间复杂度又是什么呢？空间与时间之间如何权衡呢？

下一节，我们接着聊。

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